【等差数列和等比数列的所有公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在数列、级数、数列求和等方面有着广泛的应用。掌握它们的基本公式对于解决相关问题至关重要。以下是对等差数列和等比数列所有公式的总结，便于理解和记忆。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差为常数的数列。这个常数称为“公差”，记作 $ d $。
1. 通项公式
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
- $ a_n $：第 $ n $ 项
- $ a_1 $：首项
- $ d $：公差
2. 前 $ n $ 项和公式
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] \quad \text{或} \quad S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
- $ S_n $：前 $ n $ 项的和
3. 中项公式（若 $ n $ 为奇数）
若 $ n $ 是奇数，则中间项为：
$$
a_{\frac{n+1}{2}} = \frac{a_1 + a_n}{2}
$$
二、等比数列（Geometric Sequence）
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比为常数的数列。这个常数称为“公比”，记作 $ r $。
1. 通项公式
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
- $ a_n $：第 $ n $ 项
- $ a_1 $：首项
- $ r $：公比
2. 前 $ n $ 项和公式
当 $ r \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{或} \quad S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，和为：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
3. 无限等比数列和（当 $
$$
S = \frac{a_1}{1 - r}
$$
三、对比表格
| 公式类型 | 等差数列 | 等比数列 | ||
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ | ||
| 前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | ||
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | $ S_n = a_1 \cdot n $ | ||
| 无限和（$ | r | < 1 $） | 不适用 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ |
| 中项公式（$ n $ 为奇数） | $ a_{\frac{n+1}{2}} = \frac{a_1 + a_n}{2} $ | 不适用 |
四、小结
等差数列和等比数列是数列中的基础内容，掌握它们的通项公式和求和公式是学习数列的重要一步。无论是考试还是实际应用，这些公式都具有重要的实用价值。通过理解其结构和应用场景，可以更灵活地运用它们解决相关问题。
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