【向量积如何运算】向量积（也称为叉积）是向量代数中的一个重要概念，常用于三维空间中，用来计算两个向量之间的垂直方向和大小。在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛应用。本文将简要总结向量积的基本运算规则，并通过表格形式进行清晰展示。
一、向量积的定义
设两个向量为 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积（记作 a × b）是一个新的向量，其方向垂直于 a 和 b 所组成的平面，大小等于这两个向量所形成的平行四边形的面积。
向量积的结果是一个向量，而非标量。
二、向量积的公式
向量积的计算公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, \ a_3b_1 - a_1b_3, \ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、向量积的性质
| 性质 | 描述 |
| 1. 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 2. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 3. 与标量相乘 | $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ |
| 4. 零向量 | 如果 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ |
| 5. 垂直性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 都垂直 |
四、向量积的几何意义
- 向量积的模长表示由两个向量构成的平行四边形的面积。
- 方向由右手定则决定：伸出右手，四指从 a 指向 b，拇指指向向量积的方向。
五、向量积的计算示例
假设：
- a = (1, 2, 3)
- b = (4, 5, 6)
计算：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(2×6 - 3×5, \ 3×4 - 1×6, \ 1×5 - 2×4)
= (12 - 15, \ 12 - 6, \ 5 - 8)
= (-3, \ 6, \ -3)
$$
六、向量积与点积的区别
| 特征 | 向量积（叉积） | 点积（标量积） |
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 运算方式 | 通过行列式或公式 | 通过对应分量相乘再求和 |
| 几何意义 | 垂直方向的向量，面积 | 两向量夹角的余弦值 |
| 应用场景 | 旋转、力矩、法向量等 | 角度计算、投影等 |
七、总结
向量积是一种重要的向量运算方式，它不仅能够帮助我们确定两个向量之间的垂直关系，还能用于计算面积、力矩等物理量。掌握其计算方法和性质，有助于在多个科学和工程领域中灵活应用。
如需进一步了解向量积在实际问题中的应用，可以参考相关教材或在线资源进行深入学习。
